Principi di Kirchhoff - Primo e Secondo

Primo Principio

Sia dato un nodo elettrico, come fig. 5.4, interessato da cinque lati; alcuni con corrente diretta verso il nodo, altri con corrente uscente.
Poichè un nodo è un punto ideale, senza dimensioni fisiche, non può accumulare cariche, quindi, in ogni istante, lasomma delle correnti entranti dovrà equilibrare la somma delle correnti uscenti:

Se spostiamo tutte le grandezze al primo membro otteniamo:

I1-I2+I3+I4-I5=0

relazione che esprime il primo principio di Kirchhoff e cioè:

in un nodo la somma algebrica delle correnti è nulla.

La somma delle correnti in un nodo sarà quindi sempre uguale a 0.

Sia data una maglia elettrica, come nella fig. 5.5, interessata da cinque lati comprendenti sia bipoli attivi che passivi. Poichè il poligono è chiuso, partendo da un vertice qualsiasi e percorrendo tutto sino a
tornare al punto di parttenza si otterrà una differenza di potenzioale complessiva nulla, essendo rilevata fra due punti, di partenza e di arrivo, coincidenti; sarà quindi:

Questa relazione esprime il secondo principio di Kirchhoff e cioè in una maglia la somma delle tensioni è nulla.

Con riferimento alla fig. 5.5, supponendo di iniziare dal nodo A e di percorrere la maglia in senso orario, indicando convenzionalmente come positive le tensioni aventi direzione nel senso di percorrenza e negative le altre, si ottiene:

E1 - R1 I1 - R2 I2 - E3 + R3 I3 - E4 + R4 I4 - E5 - R5 I5 = 0

Se separiamo le cadute di tensione dalle fem si puo' anche scrivere:

E1 - E3 -E4 -E5 = R1 I1 +R2 I2 -R3 I3 -R4 I4 +R5 I5

e cioè:

Sommatoria di (E) = Sommatoria di (R I)

In relazione a questo il secondo principio di Kirchhoff si esprime anche come segue:

in una maglia la somma algebrica delle fem è uguale alla somma algebrica delle cadute di tensione.

Si ponga attenzione al fatto che, in questa seconda formulazione, il segno delle fem è legato al senso delle polarità proprie, come in precedenza, mentre il segno delle cadute di tensione è ora legato al senso delle correnti, positive se concorda col senso di percorrenza, negative se discorda.

L'applicazione dei principi di Kirchoff per la risoluzione di reti elettriche, presupponendo noti i valori delle resistenze e delle fem, richiede la stesura di tante equazioni quante sono le incognite, cioè quanti sono i lati della rete. Le equazioni potranno essere ai nodi e alle
maglie con la sola avvertenza che esprimano relazioni indipendenti. Indicando con:

n i nodi, l i lati, m le maglie, l ' insieme di equazioni indipendenti che si possono scrivere risulterà:

- per i nodi: n-1;

- per le maglie: l-n+1.

Per reti complesse il metodo appare piuttosto laborioso e, al di là di un certo numero di lati, non si presenta più conveniente. Si presta invece se i calcoli possono essere fatti mediante elaboratore, perchè si tratta in sostanza di risolvere un sistema di più equazioni a più incognite.

Inoltre, poichè la stesura delle equazioni richiede la conoscenza del senso delle correnti, che non è noto a priori, si procede indicandole preventivamente a caso, salvo poi verificarne la correttezza dai risultati
conseguiti; se il risultato sarà positivo la corrente è confermata con il senso ipotizzato, se il risultato è negativo la corrente avrà senso opposto.

Giovanni Ceglia
giovanniceglia@xungame.com